Diskussion:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen

Für die komplexe Differenzierbarkeit reicht die Existenz der partiellen Ableitungen und die Erfüllung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nicht aus. Die totale Differenzierbarkeit ist eine notwendige Forderung.

imho ergibt sich die totale Differenzierbarkeit (sprich, die Ableitung ist unabhängig vom Weg) ja gerade aus der Erfüllung der obigen Bedingungen. Zumindest wird im Bronstein/Semendjajew diese Forderung nicht erhoben. Genaugenommen gibt es das totale Differential nur bei Funktionen mehrerer Veränderlicher. Hier hast du aber nur eine (komplexe) Veränderliche. Und wenn du von der Darstellung durch 2 reelle Veränderliche ausgehst, dann ist ja genau das mit komplexer Differenzierbarkeit gemeint. --Obi-Wahn 22:47, 20. Jun. 2007 (CEST)

Unsinn. Man muss mehr fordern als die bloße Existenz partieller Ableitungen. Beispielsweise erfüllt

$f(z):=\exp(-{\frac {1}{z^{4}}})\ ,\ z\neq 0\ ,\ f(0):=0$

auf ganz $\mathbb {C}$ die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen. Trotzdem ist $f$ im Nullpunkt nicht komplex differenzierbar. Das hat natürlich damit zu tun, dass die bloße Existenz partieller Ableitungen nicht einmal Stetigkeit implizieren kann. --Tolentino 15:43, 8. Nov. 2007 (CET)

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil. Die Forderung lautete nach der Existenz stetiger partieller Ableitungen. Dafür steht jetzt wieder dieser Unsinn mit der totalen Differenzierbarkeit im Artikel. Eine mehrwertige Funktion ist entweder differenzierbar oder nicht. Wenn sie differenzierbar ist, kann man das vollständige (oder totale) Differential bilden.

Aber als Voraussetzung für komplexe Differenzierbarkeit die totale Differenzierbarkeit zu fordern, ist wie die Forderung, damit eine Funktion stetig ist, muß sie stetig sein. Im übrigen brauchst du nach der Forderung der totalen Differenzierbarkeit die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Gleichungen nicht mehr zu fordern, die ergibt sich dann von selbst.

Außerdem bin ich der Meinung, daß deine Neuformulierung des gesamten Artikels zwar möglicherweise mathematisch exakter ist, für mathematische Laien ist er aber jetzt völlig unverständlich. Es fehlt auch die folgende Definition:

${\tilde {f}}(x,y):={\tilde {f}}_{1}(x,y)+i{\tilde {f}}_{2}(x,y)$

Mir persönlich gefiel die Formulierung mit u und v besser, das spart die unnötigen Indizes. --Obi-Wahn 10:53, 20. Nov. 2007 (CET)

Die Aussage $f(x+iy)={\tilde {f}}_{1}(x,y)+i{\tilde {f}}_{2}(x,y)$ fehlt nicht, siehe ${\tilde {f}}=({\tilde {f}}_{1},{\tilde {f}}_{2})$, oder wie obige Person so schön gesagt hat: "Wer lesen kann, ist klar im Vorteil." --Tolentino 12:21, 20. Nov. 2007 (CET)

Darstellung von z mit reellen Zahlen x und y

Für die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen DGLn kann man nicht irgendeine Darstellung von z durch 2 reelle Zahlen wählen, sondern nur $z=x+\mathrm {i} y$.

Ginge man z.B. von der Exponentialform $z=\varrho e^{\mathrm {i} \,\varphi }$ aus (die ja auch eine Darstellung der komplexen Zahl durch 2 reelle Zahlen ist), dann ergäbe sich:

${\frac {\partial u}{\partial \varrho }}=\varrho {\frac {\partial v}{\partial \varphi }}$ und ${\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-\varrho {\frac {\partial v}{\partial \varrho }}$

Ich kann mich aber auch irren, ich bin Chemiker, kein Mathematiker :-) --Obi-Wahn 22:31, 20. Jun. 2007 (CEST)

Weblink

weblink ist passwortgeschützt (nicht signierter Beitrag von 91.0.78.9 (Diskussion) )

Okay, hab ihn rausgenommen. --Tolentino 08:32, 23. Jun. 2008 (CEST)

Fehler

Fehler im Abschnitt: Konforme Abbildungen

Zitat: Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern a und b nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum \R^2, dabei ist a=r\,\cos(\phi) und b=r\,\sin(\phi), wobei r\neq 0 der Skalierungsfaktor und φ der Drehwinkel ist. Dies ist eine unitäre Matrix und deren Abbildung ist somit längen- und winkeltreu; d.h. der Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten (konforme Abbildung). Die Gültigkeit der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen sind also Bedingung an Funktionen, die konform sein sollen.

Fehler: Eine Drehstreckung ist nicht Längentreu, und ihre Matrix ist auch nicht unitär. Sie ist nur Winkeltreu, was konform bedeutet. (nicht signierter Beitrag von 193.247.46.67 (Diskussion) 13:05, 17. Aug. 2010 (CEST))

Definition

1. Diese "Definition" tritt wie ein Theorem auf.
2. Wenn nun doch Definition, dann kann man nur lesen:
         $f$ wird "Lösung der (homogenen, eindimensionalen) Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichung" genannt, "falls ..."
   Dann wäre f das Definiendum.
3. Es wird nicht richtig deutlich gemacht, was jetzt die "(homogene, eindimensionale) Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichung" sein soll, zumal
         ${\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial v}{\partial y}}(x,y)$
   und
         ${\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x,y)$
   ja ein System von zwei Differentialgleichungen ist.
4. In der Oberüberschrift heißt's ja auch "Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen".
5. Es verunsichert auch, dass die Zwischenüberschrift lautet "... in einer Veränderlichen", wo doch jeder sieht, dass die beiden Male, wo in diesem Abschnitt Differentialgleichungen vorkommen, diese zwei Veränderliche haben und als partielle DG geschrieben sind.

Dieser wichtige Abschnitt müsste doch konsistenter formuliert werden können. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:11, 15. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe versucht ein paar Kritikpunkte zu entschärfen. Verschläge, wie man es noch weiter verbessern kann? --Christian1985 (Diskussion) 21:28, 15. Aug. 2012 (CEST)

Also ich kriege erstmal 2 "Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \overline{\bar}". --Nomen4Omen (Diskussion) 21:32, 15. Aug. 2012 (CEST)

Ohh ja ich dachte zuerst das sei ein Fehler in MathJax, aber ich hatte Stuss getippt. --Christian1985 (Diskussion) 21:42, 15. Aug. 2012 (CEST)

OK, jetzt kommt das Definiendum besser raus.
Bleibt aber die Frage, warum f in der Definition überhaupt erwähnt wird, wo es doch nachher gar nicht mehr vorkommt. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:50, 15. Aug. 2012 (CEST)

Nun weil die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen fast ausschließlich für komplexe Funktionen betrachtet werden. --Christian1985 (Diskussion) 21:55, 15. Aug. 2012 (CEST)

Deine Verbesserungen haben einiges Gutes. Was mir aber nicht gefällt, ist, dass nun die erste Definition in der Einleitung steht. Die Einleitung hat doch die Funktion einen Überblick über den Artikel zu geben und sollte deshalb nicht zentrale Themen des Artikels abzuhandeln. --Christian1985 (Diskussion) 09:51, 18. Aug. 2012 (CEST)

Freut mich, dass Du das so sehen kannst.

Ich würde dieses Nachvornziehen der Definition damit zu rechtfertigen versuchen, dass die CRDG recht eigentlich nur ein Begriff sind, deren Bedeutung sich erst im Theorem erschließt. (Häufig wird Begriff = Theorem gesetzt, was vllt nicht wirklich schlimm ist.) --Nomen4Omen (Diskussion) 10:26, 18. Aug. 2012 (CEST)

Man kann sich den CRDG aber nicht nur aus Sicht der Funktionentheorie nähern, sondern auch aus Sicht der Theorie partieller Differentialgleichungen. So wie es zum Teil in den Abschnitten am Ende des Artikels getan wird. Um Vergleiche dorthin besser ziehen zu können, fände ich einen eigenen Abschnitt zur Definition der CRDG schon sehr wichtig.--Christian1985 (Diskussion) 10:49, 18. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe nun mal einen eigenen Abschnitt dazu eröffnet. Die Definition steht nun auch nur zwei Sätze weiter unten. Ich denke das ist zu verkraften und im Vergleich zu vor zwei Tagen steht sie immer noch ein ganzes Stück weiter oben. --Christian1985 (Diskussion) 11:02, 18. Aug. 2012 (CEST)

Ist OK so mit der Definition.

Habe allerdings ein paar Typos gefunden und das Theorem etwas präzisiert (nach meinem Buch tät's so stimmen). --Nomen4Omen (Diskussion) 15:58, 18. Aug. 2012 (CEST)

Beziehung zu den holomorphen Funktionen

Dort steht unter dem Unterabschnitt "Komplexe Differenzierbarkeit":

"Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist die Beziehung zwischen den Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung und den holomorphen (also den komplexe differenzierbaren) Funktionen. "

Diese Aussage halte ich wegen des Wortes "zentral" doch für reichlich verwegen, reduziert sie die Funktionentheorie doch auf eine Trivialität. Die CR Gleichungen kommen in einer Funktionentheorie Vorlesung in einer der ersten Vorlesungsstunden. Sie sind kein zentrales Resultat, allenfalls ein "wichtiges elementares Resultat". Nichts für ungut, -- MaLeZig (Matthias Lesch, Bonn) (nicht signierter Beitrag von 131.220.132.180 (Diskussion) 08:49, 31. Jul 2014 (CEST))

Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veränderlichen

Die $(0,1)$-komplexe Differentialform wird weder hier noch dort richtig erklärt. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:59, 17. Aug. 2012 (CEST)

Hier gehört die Erklärung einer $(0,1)$-Form auch nicht hin. Aber Du kannst gerne Verbesserungen im Artikel komplexe Differentialform anregen. --Christian1985 (Diskussion) 09:50, 18. Aug. 2012 (CEST)

Das sehe ich auch so.

Dort anregen kann ich. Aber machen werde ich nichts, da ich kein Buch dazu habe. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:28, 18. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe eine Anregung mit Querverweisen auf die Diskussionsseite von komplexe Differentialform.

Noch was, wo ich Dich grade an der "Strippe" habe:

Ich kann nirgendwo etwas finden über quaternionische CRDG. Da müsste doch in den fast 2 Jahrhunderten was gemacht worden sein. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:19, 18. Aug. 2012 (CEST)

Da habe ich noch nie etwas zu gehört. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 09:38, 20. Aug. 2012 (CEST)

Herleitung

Ich finde die Herleitung mittels Kettenregel nicht schlecht. (Es könnte aber sein, dass man die Jacobi-Kettenregel braucht.)

Müsste es, bei zwar gleichem Endergebnis, aber dem logischen Gedankenfluss entsprechend nicht eher heißen:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=\underbrace {{\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})} _{f'(z_{0})}\underbrace {{\frac {\partial z}{\partial x}}(z_{0})} _{1}=f'(z_{0})$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=\underbrace {{\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})} _{f'(z_{0})}\underbrace {{\frac {\partial z}{\partial y}}(z_{0})} _{\mathrm {i} }=\mathrm {i} f'(z_{0})$

Es leuchtet auch nicht ein, dass, wenn man die Kettenregel benutzt, die einem die Limesbetrachtung eigentlich abnehmen sollte, man trotzdem eine solche anstellen soll. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:14, 19. Aug. 2012 (CEST)